[ AKRONIEK ]

HET TEMPO ONTLEED

Alle bewegingen gehoorzamen aan elementaire natuurkundige wetten. Ook de dynamiek van de tempo's die bij akrobatiek worden gemaakt, is uiteen te rafelen in krachten, snelheden en energieën.

Bij veel akrobatische trucs wordt een tempo gegeven. Hierbij zetten de akrobatiekpartners samen een versnelling in van - meestal - de bovenpersoon, hierna Truus (50 kg) genoemd. Door de versnelling komt Truus van de ene positie in de andere.

In het voorbeeld van de gegeven figuur, een 'Tempo worp voorlangs naar staan in handen hoog', springt Truus omhoog (1-3) en wordt ze door de onderpersoon - hierna Ed genoemd en te herkennen aan het driehoekige bovenlijf - via hand-hand-contact omhoog gestuwd (3-5). Eenmaal hoog genoeg en met voldoende snelheid komt Truus los van Ed (5), trekt ze de benen wat in en wordt ze onder de voeten opgevangen door Ed, waarna ze zich tot rechtop staan uitstrekt (6).



a
Tijdens haar sprong genereert Truus een constante kracht van 700 N, gedurende 0,5 s. Deze kracht is bijvoorbeeld te meten als bodemreactiekracht. We nemen aan dat ze vanuit ingeveerde positie versnelt en verwaarlozen het effect van het weer uitveren van de benen. Als we over afgelegde weg en hoogte praten, hebben we het over het massamiddelpunt van de gestrekte persoon. Hoe groot is haar versnelling? Hoe hoog komt ze met haar sprong als ze zonder hulp van Ed springt? De hoogte wordt gemeten vanaf het moment dat ze met gestrekte benen het contact met de grond verliest.

b
Nu komt Ed in de picture en stuwt hij haar tot grote hoogte, maar pas vanaf het moment dat Truus weer stilgevallen is aan het einde van haar sprong (oftewel haar snelheid is weer tot 0 gereduceerd en ze is wel een stukje hoger). We nemen aan dat Ed Truus over een traject van 1 m met een constante kracht naar boven stuwt. Welke kracht moet Ed zetten om Truus in totaal 1,4 m hoger te krijgen?
De laatste 40 cm vormen dan de zweeffase van de worp. 1,4 m hoger is de snelheid van Truus dan weer tot 0 gereduceerd (ergens tussen 5 en 6 in).

c
Nu gaan we uit van de situatie dat Ed al begint met stuwen op het moment dat Truus met haar sprong los van de grond komt. We nemen aan dat Truus nu 1,6 m aan hoogte wint. Dit is op het moment dat Truus met snelheid 0 m/s gestrekt in de lucht hangt na de worp van Ed. Neem aan dat Ed over een afstand van 1,2 m een constante kracht genereert en dat de laatste 0,4 m van de beweging de zweeffase voorstellen. Welke (constante) kracht moet Ed nu genereren en hoe lang moet hij deze kracht zetten?

d
De energie die door Ed gegenereerd wordt, is gelijk aan het verschil aan energieën van Truus als star lichaam. De energieën waar het hier om gaat, zijn de potentiële (Ep = mgh) en kinetische (Ek = 1/2mv2). Bereken de door Ed gegenereerde energieën in de beide gevallen b en c. Vergelijk kwalitatief de verbruikte energie per eenheid van tijd (gemiddeld vermogen).

e
Bekijk de aannamen in deze opgaven kritisch en geef je commentaar. Is het acceptabel om Truus als een star lichaam te beschouwen, met een constant massamiddelpunt? Hoe zit het met de aanname dat Ed een constante kracht uitoefent? Wat leert deze opgave je over tempo's in de akrobatiek?

Antwoorden op de vragen
(Hierin is de Griekse letter delta weergegeven door een hekje (#).)
(Bodemreactie-)kracht naar boven 700 N minus Fz van 500 N geeft een nettokracht van 200 N naar boven. Met F=m*a vinden we a = 200/50 = 4m/s2. Dat betekent dat haar snelheid in 1 s van 0 m/s toeneemt tot 4 m/s. Gedurende 0,5 s neemt de snelheid dan toe met 2 m/s. Op het moment van loskomen van de grond heeft ze deze snelheid van 2 m/s. Vanaf dat moment werkt alleen nog de zwaartekracht van 500 N op Truus, met nu een beginsnelheid van 2 m/s. De negatieve versnelling (vertraging) van de zwaartekracht bedraagt a = -g = -10 m/s2.
We moeten nu het tijdstip bepalen waarop de snelheid van Truus weer tot 0 gereduceerd is. Met v = v0 + a*t krijgen we: 0 = 2 - 10*t -> t=0,2 s. De hoogte die Truus met haar sprong in haar eentje bereikt, is h = x - x0 = v0*t+ 1/2 a*t2. Met v0 = 2 m/s, t = 0,2 s, a = -10 m/s2 krijgen we h = 2*0,2 - 5*0,04 = 0,2 m = 20 cm. Dit is dus het hoogteverschil van het massamiddelpunt tussen het moment van loskomen van de grond en het punt van maximale hoogte. Op beide momenten wordt aangenomen dat Truus gestrekt is.

Ed versnelt Truus over een traject van 1 m met een constante kracht FEd,1 vanaf het einde van Truus haar sprong. Hiermee genereert hij een constante versnelling van Truus van aEd,1. Aan het einde van het traject van 1 m heeft Truus een snelheid v0,Ed,1. Met deze beginsnelheid moet Truus nog 0,4 m omhoog komen en dan stilvallen. Tijdens dit laatste traject (de zweeffase) werkt alleen de zwaartekracht (500 N) op Truus, wat een constante negatieve versnelling van -g = -10 m/s2 veroorzaakt. We moeten nu terugrekenen vanaf het moment dat Truus op haar hoogste punt is stilgevallen. Gebruik makend van de formule voor de snelheid bij constante versnelling, v - v0 =a*t, krijgen we: 0 - v0,Ed,1 = - 10*t -> v0,Ed,1 = 10*t. We dienen nu de tijd t te bepalen waarin de 0,4 m afgelegd worden. Met de formule voor de afgelegde weg, x -x0= v0 * t + 1/2 a*t2, vinden we: 0,4 =v0,Ed,1*t - 5*t2, 0,4 = 10*t2 - 5*t2, t2 = 0,08 -> t = 0,283 s.

Hierna volgt dat v0,Ed,1 = 10*t = 2,83 m/s. Dit is de snelheid aan het einde van de stuwende beweging van Ed (van 1 m), op het moment, dat Truus los komt van Ed.

We rekenen nu verder terug om de kracht FEd,1 te berekenen, waarmee Ed Truus over een traject van 1 m omhoog stuwt. Aan het begin van dit traject was de snelheid van Truus 0 m/s (aan het einde van haar sprong). Aan het einde van dit traject is haar snelheid 2,83 m/s. Ed genereerde een constante kracht, dus een constante versnelling. Met de formule voor de snelheid, v - v0 = a*t, vinden we weer: 2,83 - 0 = aEd,1*t -> aEd,1 = 2,83/t m/s2. Met de formule voor de afgelegde weg, x - x0 = v0*t + 1/2 a*t2, kunnen we de tijd voor het eerste traject (van 1 m) bepalen. We krijgen: 1 = 0*t + 1/2 aEd,1 * t2 -> 1 = 0,5 * 2,83 * t -> t = 0,708 s.

Voor de versnelling gedurende het eerste traject van 1 m volgt nu: aEd,1 = 2,83/0,708 = 4,0 m/s2. Uit de 2de wet van Newton volgt nu: Ftotaal = FEd,1 - Fz = mTruus * aEd,1 -> FEd,1 = 500 + 50*4,0 = 700 N.

We gaan weer terugrekenen en beginnen met het laatste stuk van de beweging, de zweeffase. Hiervoor geldt precies dezelfde situatie als in opgave b. De snelheid aan het einde van de stuwende beweging (dus het begin van de zweeffase), v0,Ed,2, moet derhalve gelijk zijn aan v0,Ed,1, dus v0,Ed,2 = 2,83 m/s.
Nu stuwt Ed gedurende 1,2 m met een constante kracht FEd,2. De beginsnelheid van Truus is nu echter niet 0 m/s, maar 2 m/s (zie onderdeel a). We krijgen dan voor de versnelling aEd,2: aEd,2 = (2,83 - 2)/t = 0,83/t m/s2. De tijd bepalen we weer met de formule voor de afgelegde weg: 1,2 = 2*t + 1/2aEd,2 * t2 -> 1,2 = 2*t + 1/2 * 0,83t -> t = 0,50 s.

Voor de versnelling van het eerste traject van 1,2 m volgt nu: aEd,2 = 0,83/0,5 = 1,67 m/s2. Uit de 2de wet van Newton volgt nu: Ftotaal = FEd,2 - Fz = mTruus * aEd,2 -> FEd,2 = 500 + 50 * 1,67 = 583 N. Vergelijk deze waarde met de 700 N van opgave b.
In geval b neemt de energie van Truus toe met haar hoogte. Aan het begin van de actie van Ed en aan het eind van de worp is de kinetische energie van Truus 0. De energiewinst zit hem in de hoogtewinst van 1,4 m: #Ep = #h * mTruus * g = 1,4 * 50 * 10 = 700 Nm.

In geval c is de kinetische energie van Truus aan het begin van de actie van Ed gelijk aan 1/2 mTruus * v2. De snelheid v is hier gelijk aan de snelheid van Truus op het moment van loskomen van de grond (zie onderdeel a). Aan het einde van de worp is de Ek van Truus gelijk aan 0. Het verschil aan Ek is: #Ek = Ek,na - Ek,voor = 0 - 1/2 * 50 * 22 = -100 Nm.
De potentiële energie van Truus neemt toe evenredig aan de hoogtewinst van 1,6 m: #Ep = #h*mTruus * g = 1,6 * 50 * 10 = 800 J. Haar totale energietoename is gelijk aan #Ek + #Ep = -100 + 800 = 700 J.

In beide gevallen levert Ed 700 J aan energie aan Truus. Logisch, want Truus komt in beide gevallen even hoog en heeft even hard gesprongen. Het vermogen dat Ed moet leveren, is echter in geval b kleiner dan in geval c. Hij smeert zijn energie nu uit over een langere tijd en hoeft dus minder kracht en vermogen te leveren. Hij heeft sowieso baat bij de sprong van Truus. Als ze helemaal niet had gesprongen, had Ed nog eens echt moeten werken. Gebruikmakend van de sprong zoals in b spaart Ed zijn energie. Echter, gebruikmakend van de sprong zoals in c spaart Ed zijn energie en kracht(vermogen).

Truus is natuurlijk geen echt star lichaam. Door verschuiving van haar massamiddelpunt gaat energie verloren (elke versnelling van massa kost energie). Naarmate Truus dus minder star is, wordt het voor Ed zwaarder (het aardappelzak-effect). Door beweging van haar ledematen dissipeert zij energie. Doordat zij niet perfect naar boven beweegt, maar ook voor-achterbewegingen maakt, kan het Ed veel kracht kosten om 'onder' haar te blijven.

De kracht die een onderpersoon levert in zo'n truc als hier beschreven, varieert nogal eens en is meestal het grootst aan het begin van de beweging.

Al met al werken we hier met een serieuze simplificatie, die echter toch nog een beeld schetst van de krachten die nodig zijn om iemand omhoog te stuwen en te gooien. Dit illustreert het voordeel van het gebruik van tempo's in de akrobatiek, in de zin dat Ed bij een 'goed' tempo (onderdeel c) veel minder kracht moet generen dan bij een 'slecht' tempo.

Gerard Houben

[ Terug naar de 'Akroniek' ]